Perpendiculaire commune - Polynésie, mars 2023

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) . On considère :

• \(d_1\)  la droite passant par le point \(\text H(2;3;0)\)  et de vecteur directeur  \(\overrightarrow{u}(1;-1;1)\) ;
• \(d_2\)   la droite de représentation paramétrique  \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2k - 3\\ y &=&k\\ z &=&5 \end{array}\right.\) où \(k\in \mathbb R\) .

Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite \(\Delta\) qui soit perpendiculaire aux droites   \(d_1\) et   \(d_2\) .

1. a. Déterminer un vecteur directeur \(\overrightarrow{v}\) de la droite   \(d_2\) .
    b. Démontrer que les droites   \(d_1\)  et   \(d_2\)  ne sont pas parallèles.
    c. Démontrer que les droites  \(d_1\)  et   \(d_2\)  ne sont pas sécantes.
    d. Quelle est la position relative des droites  \(d_1\)  et   \(d_2\) ?

2. a. Vérifier que le vecteur \(\overrightarrow{w}(-1;2;3)\) est orthogonal à \(\overrightarrow{u}\) et à \(\overrightarrow{v}\) .
    b. On considère le plan \(P\) passant par le point \(\text H\) et dirigé par les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{w}\) . 
On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est : \(5x + 4y - z - 22 = 0\) .
Démontrer que l'intersection du plan \(P\) et de la droite   \(d_2\)  est le point \(\text M(3;3;5)\) .

3. Soit \(\Delta\) la droite de vecteur directeur  \(\overrightarrow{w}\) passant par le point \(\text M\) . Une représentation paramétrique de  \(\Delta\) est donc donnée par :  \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&- r + 3 \\ y &= &2r + 3\\ z &=& 3r + 5 \end{array}\right.\)  où  \(r\in\mathbb R\) .
    a. Justifier que les droites   \(\Delta\) et  \(d_1\)  sont perpendiculaires en un point \(\text L\) dont on déterminera les coordonnées.
    b. Expliquer pourquoi la droite  \(\Delta\)  est solution du problème posé.